序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇高等函數的概念范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

篇(1)

【關鍵詞】高等數學；一致性；連續性；函數

一、高等數學函數一致性連續性的基本概念

高等數學中的一致連續性是從函數連續的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個微小變化的界限區間，如果函數定義域以內的任意兩點間的距離永遠不超過這個界限范圍，則這兩點相對應的函數值之差就能夠達到任意小、無限小，這就是所謂的函數一致連續性概念。一直以來，高等數學函數一致連續的概念都是教學過程中的重點，也是難點之一，在多年的高等數學教學實踐過程中，筆者深刻感受到學生在學習和掌握函數一致連續概念時的疑惑和困難。甚至有不少學生會有這樣的疑問：函數連續和一致連續的本質區別究竟體現在哪里？

帶著上述問題，我們對函數一致連續性進行研究和分析。函數的一致連續性是函數的一個重要的特征和性質，它標志著一個連續函數的變化速度有無“突變”現象，并對其連續性進行歸納總結。函數一致連續性，要求函數在區間上的每一點都保持著連續的特點，不允許出現“突變”現象，同時還進一步要求它在區間上所有點鄰近有大體上呈現均勻變化的趨勢。換句話說，函數一致連續性的定義為：對于任給定的正數ε，要求存在一個與自變量x無關的正數δ，使對自變量在定義域區間內的任意2個值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數所對應的函數值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數一致連續性的條件要比函數連續的條件強。在目前采用的高等數學的教材中，只是給出一致連續的基本定義，以及利用該定義證明函數f（x）在某區間上一致連續的數學方法，進而呈現出了函數一致連續的完美邏輯結果。這種教學理念是很好的，但是，從實踐教學效果上看，又很不利于學生對定義的理解，尤其不利于學生對定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學工作者將函數一致連續性概念中所隱含的知識逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學生更快更好地充分理解一致連續的概念和意義。高等數學函數連續性的基本定義為：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對ε＞0，對于每一點x∈I，都存在相應δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數f（x）在區間I上連續。該定義說明了函數f（x）在區間I上連續的基本特征。函數一致連續的基本概念是：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對ε＞0，存在δ（＞0），使得對任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數f（x）在區間I上一致連續。要特別注意的是，連續概念中δ與一致連續概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數一致連續性概念，現將函數函數不一致連續的概念進行一下描述：存在某個ε0，無論δ 是怎么樣小的正數，在I上總有兩點x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數不一致連續的概念，理解和學習函數不一致連續的相關知識，有利于我們更好地學習和研究函數一致連續性問題。

二、高等數學引入一致性連續性的意義和價值

高等數學教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數的連續性與一直連續性，以及函數列的收斂性與一致收斂性等，都是初學者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數學學習中的一個難點問題。在工程數學中，這些概念非常重要，筆者認為，搞清楚和弄明白函數的一致連續的基本概念，以及掌握判斷函數是否具有一致連續特性的基本方法，無疑都將是理工科學生學好高等數學函數一致連續性理論知識的核心環節，也是日后成熟運用該數學方法的基礎和前提。通過學習和比較，我們能夠得出一個很明顯的結論：一致連續要比連續條件強。高等數學函數一致連續是一個很重要的概念，在微積分學以及其他工程學科中常常會用到一致連續的知識，而且函數列的一致連續性和一致收斂又有著密切的相互關系。實際上，我們在進行函數列的收斂問題研究時，常常要用到函數列與函數之間的收斂、一致連續性、一致收斂等概念及其關系。函數一致連續的概念是學生學習高等數學的一個難點問題，證明某一個函數是否具有一致連續性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學感到無從下手。為了解決這一難點，達到化抽象為簡單的教學目的，筆者建議給出一致連續性的幾種常見等價形式，能夠很好地幫助學習高等數學的同學更易于理解和掌握函數一致連續性這一知識要點。高等數學中的函數一致連續性、函數列一致有界性、函數列一致收斂性等“一致性”概念是學習上的難點，也是教學大綱中的重點。因此，牢固掌握這些概念及與之有關的理論知識，對于培養學生良好的數學素養和創新能力都有著重要的意義。

函數一致連續的幾何意義非常非常重要。數學分析抽象而且復雜難懂，這門學科本身就有著極強的邏輯思維和嚴密特征，主要體現在它能夠采用最簡明的數學語言來準確表述其他語言無法量化的復雜多變的事物發展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動態發展過程。其幾何意義將在高等數學課程入門中起到一個有利引導作用，清晰明朗地向學生展示高等數學中最基本的思想方法和思維方式，幫助學生理解抽象概念，提高學生培養自身的創新思維能力。另外，探討函數一致連續和一致收斂的關系，同時在有界區間上給出一致連續和一致收斂的等價關系，有利于學生在今后研究連續、收斂問題中擁有更多的參考依據。

三、解決高等數學函數一致性連續性問題的對策

1.一元函數在有限區間上的一致連續性

由于用函數一致連續的定義判定函數 是否一致連續，往往比較困難。于是，產生了一些以G.康托定理為基礎的較簡單的判別法。

定理1 若函數 在 上連續，則 在 上一致連續。

這個定理的證明方法很多，在華東師大版數學分析上冊中，運用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區間套定理來證明。

分析：由函數一致連續的實質知，要證 在 上一致連續，即是要證對 ，可以分區間 成有限多個小區間，使得 在每一小區間上任意兩點的函數值之差都小于 。

證明：若上述事實不成立，則至少存在一個 ，使得區間 不能按上述要求分成有限多個小區間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個不能按上述要求分為有限多個小區間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續下去，就得到一個閉區間套 ，n=1，2，…，由閉區間套定理知，存在唯一一點c滿足

（2-13）

且屬于所有這些閉區間，所以 ，從而 在點 連續，于是 ，當時，就有

。（2-14）

又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對于 上任意點 ，都有 。因此，對于 上的任意兩點 ，由（2-14）都有 。（2-15）

這表明 能按要求那樣分為有限多個小區間，這和區間 的取法矛盾，從而得證。定理1對開區間不成立。阻礙由區間連續性轉變為區間一致連續性有兩種情況：（1）對于有限開區間，這時端點可能成為破壞一致連續性的點；（2）對于無限區間，這時函數在無窮遠處也可能破壞一致連續性。

定理2函數 在 內一致連續在 連續，且 與 都存在。

證明：若 在 內一致連續，則對 ，當 時，有

，（2-16）

于是當 時，有

。（2-17）

根據柯西收斂準則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續， 與 都存在。

若 在 連續，且 和 都存在，則

令（2-18）

于是有 在閉區間 上連續，由Contor定理， 在 上一致連續，從而 在 內一致連續。

根據定理2容易得以下推論：

推論1 函數 在 內一致連續在 連續且 存在。

推論2 函數 在 內一致連續在 連續且 存在。

當 是無限區間時，條件是充分不必要的。

2.一元函數在無限區間上的一致連續性

定理3 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 都存在。

證明：（1）先證 在 上一致連續。

令 ，由柯西收斂準則有對 使對 ，有

。 （2-19）

現將 分為兩個重疊區間 和 ，因為 在 上一致連續，從而對上述 ，使 ，且 時，有

。 （2-20）

對上述 ，取 ，則 ，且 ，都有

。 （2-21）

所以函數 在 內一致連續。

（2）同理可證函數 在 內一致連續。

由（1）、（2）可得 在 內一致連續。

若將 分為 和 ，則當 與 分別在兩個區間時，即使有 ，卻不能馬上得出 的結論。

由定理3還容易得出以下推論：

推論3 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 存在。

推論4 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 與 都存在。

推論5 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 存在。

推論6 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 與 都存在。

參考文獻：

[1]王大榮，艾素梅；分段函數在分段點處的求導方法芻議[J]；滄州師范專科學校學報；2005年03期

[2]袁文俊；鄧小成；戚建明；；極限的求導剝離法則[J]；廣州大學學報（自然科學版）；2006年03期

篇(2)

    學習數學可以鍛煉學生嚴謹的思維,培養分析問題和解決問題的能力,高等數學是各高校的理工農林等專業學生必修的基礎課。在高等數學中起著基礎、關鍵、貫穿作用的是數學概念。每個數學概念是構建數學理論大廈的基石,是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎,是提高解題能力的前提。數學概念的簡潔、抽象、嚴謹等特點導致很多學生對高等數學學習有畏懼感,感覺抽象、枯燥,乏味。在有限的學時內,讓學生正確理解概念,教師舉例說明是直觀的,可以減少學生學習活動的盲目性。逆向思維可以打破學生的定向思維,使其從多層次、多角度理解概念,進而深入的掌握知識,大大的開拓視野。利用反例教學在高等數學的教學中起著畫龍點睛的作用。

    分段函數是指在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子表示的一個函數。分段函數在每段內對應的解析式是初等函數,在分段點處的特性往往會發生很大的異常,這也是用作反例的重要價值。本文主要將一元分段函數作為反例,在高等數學中學生不易理解或者易混淆的幾個重要概念中進行應用。

    1 初等函數與分段函數

    由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合運算而形成的并可用一個式子表示的函數稱為初等函數。由于分段函數是由幾個式子表示的函數,有些老師講解初等函數的概念時,只強調初等函數用一個式子表示,輕易地得出分段函數非初等函數的結論。事實上并非所有的分段函數都不是初等函數。

    例如,函數y=3x+2,x?叟0x+2,x<0為分段函數,但是該函數可以用y=2x+■+2一個式子表示,顯示該分段函數是初等函數。其實分段函數在滿足一定條件下是初等函數,可參考文獻[2]。通過此分段函數例子可以加深學生對分段函數和初等函數概念的理解,并且擴大學生的思維。

    2 有界函數與函數值

    若函數f(x)在區間I內有界,則稱f(x)在區間I內為有界函數。初學有界函數概念的學生易與有限的函數值混淆。事實上函數有界是函數在研究區間整體的一個性質,函數值是某點按照對應法則計算的結果,這兩個概念是整體和局部上的區別。

    例如,分段函數f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0點的函數值為有限值■,但是對任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,從而知函數f(x)為無界函數。

    3 函數極限與函數值

    如果在xa的過程中,對應的函數值f(x)無限地接近于常數A,則稱數A是函數f(x)在點a的極限。初學函數極限的學生易想當然的認為函數的極限就是函數在點a處的函數值。事實上函數在點a處極限值的存在與該點處函數值無關。

    例如,已知函數f(x)=■,x≠25,x=2,極限■f(x)=

    ■■=■(x+2)=4,而在x=2處的函數值f(x)=5≠4。

    4 無窮大與無界函數

    若對于任意給定的不論多么大的正數M,總存在δ>0,當0<x-a<δ時,有f(x)>M成立,則稱函數f(x)當xa時為無窮大。初學者常錯誤的將無窮大等價為無界函數。事實上無窮大是在研究范圍內為無界函數,但反之不一定成立。無界是指自變量在定義域內,函數值沒有界限,但是可能并沒有一個趨勢。無窮大是在自變量的某個變化過程中有確定的趨勢。

    例如,已知數列函數f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k為整數。顯然它是一個無界數列函數,但當n+∞時,它不是無窮大,因為奇數子列是收斂的,極限值為0。

    5 原函數和可積

    若f(x)在閉區間I上有原函數,很多學生就認為函數f(x)在閉區間I上可積。這是因為他們將原函數和可積兩者認為等價的。事實上,函數具有原函數和可積不是充要條件。

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關鍵詞：高等數學；反例；應用

中圖分類號：O13

1， 反例在高等數學教學中的作用

高等數學的反例是指符合某一個命題的條件，但又和此命題結論相矛盾的例子。正確的命題需要嚴密的證明，錯誤的命題則靠反例否定。

1.1 有助于基本概念的深化理解

關于二元函數的極限的概念，現在的描述性定義盡管比過去的“ ”定義簡單，但 是表示點 以任何方式接近于點 ，所以在討論極限是否存在時，只要選擇兩條不同路徑，而按這兩條路徑計算的極限值不同，既可說明極限不存在。

例 討論二元函數

是否存在極限？

解 當點 沿直線 趨于點 時，有

，當點 沿直線 趨于點 時，有 。可見沿不同路徑函數趨于不同值，該函數的極限不存在。又

同理可得 ，二元函數在一點不連續，但其偏導數卻存在。但對于一元函數是可導必連續，連續未必可導。

1.2 有助于基本定理的理解掌握

在高等數學中，學生對定理條件和結論之間的“充分”、“必要”性的理解通常是學習難點。而反例使學生打開眼界，拓寬思路，從而全面正確理解高等數學的基本定理。拉格朗日定理是微積分的基本定理，關于它的學習，一般先介紹定理（若函數 滿足條件： 在 上連續； 在 上可導，則在 內至少薦在一點 ，使得

成立），再結合圖形給予證明。對給定的具體函數，要求能夠判斷其是否在所給區間上滿足指定的定理的條件，并能求出滿足定理中的 。

1.3 有助于錯誤命題的有效糾正

在一元函數中有兩個重要結論。一是可導必連續，連續未必可導；二是若f （x）在某某區間（a， b）內只有一個駐點 ，而且從實際問題本身又能夠知道f （x）在該區間內必定有最大值或最小值.則 就是所要求的最大值或者最小值。按照常規的思維模式，人們很自然把它們推廣到二元函數。

2 在高等數學教學中反例的應用

在高等數學教學中加強反例思想的滲透，能夠強化學生對一些基本概念和定理的學習和理解，并能夠激發學生學習數學的興趣，進一步提高教學效果。

2.1 恰當構造反例，加深對概念的理解

理解概念是學生學好高等數學的基礎，也是其能力培養的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現的模糊認識，嚴格區分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質。在高等數學的極限概念教學中，恰當地構造反例，會得到事半功倍的效果。在極限概念的學習中，學生認為：①有界函數的極限一定存在；

②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述兩種想法都是錯誤的.對于①構造反例

因為當 時， 不能無限接近于一個確定的常數 ，所以，極限 不存在，對于②構造反例 ，

2.2正確應用反例，加深對定理的理解

定理教學中，反例和證明具有同等重要的地位，通過嚴密的證明才能夠肯定一個命題的正確性，而巧妙的反例即可否定一個命題的正確性。

在高等數學的定理教學中，正確地應用反例，能夠全面地理解定理的條件和結論，更好地應用定理解決問題。關于羅爾定理（若函數 滿足條件： 在 上連續； 在 上可導；. 。則在（（a，b）內至少存在一點 ，使得 成立）的教學，因為它只是拉格朗日的特例，一般是結合圖形給予說明，不做重點講解。但能夠應用反例加深對定理的理解，說明羅爾定理的三個條件是使 成立的充分條件，而不是必要條件。

2.3 有效利用反例，糾正習題中的錯誤

學習高等數學需要解題，在解題中要鼓勵學生從多方面進行思考，多角度進行探索，挖掘新思路：鼓勵學生去聯想發揮，改變條件，對習題進行拓寬。有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短的時間內，較直觀地反映出錯誤所在，而且，由此往往能產生正確的途徑。

“反例”揭示了數學上這種“失之毫厘，差之千里”的特點，達到了教學中那種“打開眼界，拓寬思路”的效果。所以，在高等數學教學中，廣大教師應重視和恰當地應用反例。

參考文獻

[1]吳里波.淺談高等數學課中微分中值定理教學方法一反例教學法.思茅師范高等專科學校學報，2012（3）.

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【關鍵詞】函數 極限

【中圖分類號】G642【文獻標識碼】A【文章編號】1006－9682（2009）01－0071－01

高等數學的基本研究對象是函數，而研究函數的基本方法是極限，極限的概念是個比較抽象的概念。對于那些從初等數學進入高等數學的高職高專學生而言，不論從知識結構方面，還是從思維方式上來講，都要有一個本質的轉變。為了更好的實現這個轉變，就要求我們教師必須把要教的知識內容進行必要的加工，按照學生的實際情況逐漸引導學生走上正確的分析思維，抽象，概括，解決實際問題的道路。

一、講解實例，使學生獲得有關極限概念的感性認識。

為了使學生更好的理解極限的概念，我們先從以下2個例子來講解。

例1：如何求圓的面積？

解題思路：用圓內接正n邊形的面積去逼近圓的面積。

設有一圓，其面積記為s，做它的正四邊形，正八邊形……正n邊形，記做s4，s8……sn，當圓內的正多邊形的邊數越來越多的時候，它的面積就越近似于圓的面積，即當n∞時，sns。

這個例題是非常有名的“劉徽割圓術”，雖然當時沒有嚴格的極限定義，但是他的這種思想正是體現了極限的概念。

例2：求變速直線運動的瞬時速度。

對這個實例應著重弄清兩個問題：第一，要求瞬時速度，為什么要先考慮平均速度？第二，為什么要規定瞬時速度是平均速度的極限？在瞬時速度的概念提出之前，已經有了勻速直線運動的速度概念及其計算方法，引出平均速度只要是將非勻速直線運動轉化為迅速運動來處理，從而求出瞬時速度的近似值。

（s―位置的改變量；t―時間的改變量）

表示物體在t時間內的平均速度，它隨t的變化而變

化，當時間改變量t越來越小時，位置的改變量s也越來越小，

而平均速度 越來越接近一定值，即平均速度作為瞬時速度的

近似值，其近似程度越小越好，但不管t多么小，所求得的平均速度還不是t時刻的速度，而只是它的一個近似值。要把這個近似值轉化為精確值，即求出了t時刻的速度，只有縮小t，當t0時，v（t）v平均，也就是說t越變越小，v平均與v（t）就越接近，有近似值而飛躍到了精確值。

重點講清這個事例后，從而使學生認識到研究非均勻變化的變化問題確實是世界中存在的普遍問題，而這類問題的解決都歸納為求極限的問題。

二、根據實例給出函數極限的定義

通過上面兩個例子，我們可以將它們看作是一個函數。如果給定一個函數y＝f（x），其函數值y會隨著自變量x的變化而變化，若當自變量無限接近于某個“目標”，這個目標可以是任意一個確定的常數x0，也可以是＋∞或－∞。此時，函數值y無限接近于一個確定的常數A，則稱函數f（x）以A為極限，下面就以例題并結合它的數值表充分說明函數的極限。

例3：考察當x3時，函數 的變化。

解：函數 在（－∞，＋∞）有定義。

設x從3的左、右側無限接近于3，即x的取值及對應的函數表如下：

x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …

f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …

數值表給出后，教師應該引導學生去從靜態的有限量來刻畫動態的無限量，通過直觀的數據讓學生看到，當x越來越接近于

3時，也就是我們所說的那個目標，函數值 的值就

無限接近于3，體現了我們最后用近似值代替精確值的思想。那么，由這個例題，教師可以給出極限的定義。

定義：設函數f（x）在點x0的某一空心領域內有定義，如果當自變量x無限接近于x0時，相應的函數值無限接近于常數A，則稱A為xx0時，函數f（x）的極限，記作： 或

f（x）A（xx0）。

極限的定義給出以后，教師可以讓學生根據極限的定義寫出

例三的極限，即 。

這時，有些同學可以看到， 的極限值與f（3）的函

數值相等，這是怎么回事？它會給同學們一個錯誤的概念，求極限就是在求函數值，雖然在后面我們會講到某些函數求極限是靠函數值求出來的，但是這二者之間沒有任何關系。

例如，求 ，如圖所

示，當x＝1， 無意義，所

以函數值是不存在的，而當x1時，從圖象上可以看出

，所以說，極限是否存在與這點有沒有函數值沒有

任何關系。

參考文獻

1 侯風波. 高等數學（第2版）. 北京：高等教育出版社，2003.8

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關鍵詞：區域 域 開域 閉域

在學習“多元函數微積分”或者“復變函數”時都要先學習平面點集的一些基本概念。也就是將R1中的區間、開區間、閉區間等概念推廣到R2中。下面是同濟大學數學系編《高等數學（第六版）下冊》中給出的關于平面點集的幾個概念的定義。

開集：如果點集E 的點都是E 的內點， 則稱E為開集。

閉集：如果點集E的邊界？墜E？奐E，則稱E為閉集。

開集的例子： E={（x， y）|1

閉集的例子： E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。

集合{（x， y）|1

連通集： 如果點集E內任何兩點，都可用折線聯結起來，且該折線上的點都屬于E，則稱E為連通集。

區域（或開區域）： 連通的開集稱為區域或開區域。例如：E={（x， y）|1

閉區域： 開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域。例如E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。

國內出版的其他《高等數學》《微積分》和《復變函數》的教材中關于這幾個概念的定義都基本相同。根據上述定義不難發現，R1中的開區間、閉區間在R2中分別與區域（開區域）、閉區域相對應，但是R1中的區間在R2中沒有與之對應的概念。我們可以說開區間和閉區間都是一種區間，但卻不能說開區域和閉區域都是一種區域。因為區域和開區域是同一個概念，所以區域不是開區域和閉區域的屬概念，而區間卻是開區間和閉區間的屬概念。

查閱英文原版教材發現英文版的《微積分》及《復變函數》教材中關于平面點集的概念體系與國內現行教材有差異。下面是美國James Ward Brown和Ruel V. Churchill合著的《復變函數及應用（英文版·第7版）》中給出的關于平面點集的幾個概念的定義：

A set is open if it contains none of its boundary points. It is left as an exercise to show that a set is open if and only if each of its points is an interior point.

A set is closed if it contains all of its boundary points.

An open set that is connected is called a domain.

A domain together with some， none， or all its boundary points is referred to as a region.

從上面的定義可以看出，“開集（open set）”和“閉集（closed set）”與國內教材是一致的。與“domain”對應的是“區域”，但是英文教材中多了一個“region”，它是“open region”和“closed region”的屬概念。如果按照國內教材現行的概念體系，沒有與“region”對應的中文術語。在上述英文版教材的中文版中勉強生造了一個術語“帶邊區域”來翻譯“region”，我認為翻譯得很不恰當，因為國內教材的概念體系與國外教材的概念體系有沖突，只有將國內教材中的個別概念重新定義和命名，才能找到好的翻譯，下面是我的修改建議：

1.廢除“區域”的別名“開區域”。

2.在“區域”的基礎上定義一個新的概念“域”，與英文中的“region”對應，定義和英文教材中相同：一個區域加上某些、或者不加、或者加上全部的邊界點形成的點集稱為域。

3.再定義“開域”和“閉域”：一個區域不加任何邊界點即區域自身叫做開域，因此開域與區域的外延相同，開域成了區域的新的別名。一個區域加上全部的邊界點形成的點集稱為閉域。域是開域和閉域的屬概念。

按上面的方法修改之后，中文教材中的概念體系就和英文教材中的概念體系完全一致了，“region”也就有了更好的譯名：“域”。現代數學本來就是從國外引進，所以在教材的編寫上與國際接軌無可厚非。而且比較關于平面點集這部分內容的中外教材，英文教材的概念體系邏輯性更強。有跟“區間”（interval）對應的概念“域”（region），便于從一元函數微積分過渡到多元函數微積分。

最后簡單介紹一下這幾個概念之間的關系以供教學參考：

1.開集與閉集不是矛盾關系而是交叉關系，因為整個平面R2既是開集又是閉集。所以如果把平面點集分為開集、閉集和既不開也不閉的點集的分類是不科學的，因為科學的分類不允許有重復。開集和閉集的關系可用下圖表示：

■

2.區域（開域）和閉域的關系也跟開集和閉集的關系一樣是交叉關系，因為整個平面R2既是開域又是閉域。區域（開域）和閉域的關系也用圖形來表示：

■

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.高等數學（第六版 下冊）.北京： 高等教育出版社， 2007.

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[4] James Ward Brown， Ruel V. Churchill .復變函數及應用（英文版·第7版）.北京： 機械工業出版社， 2004.

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隨著計算機的普及，數學進入了許多以往不曾涉及的領域。原來大學課程中只作定性分析的學科，現在開始了定量分析，如經濟學、社會學、生態學、醫學等。這些學科與數學相互交叉，大量的新學科紛紛出現，數學不再被理工科學生獨享，更多的文科生加入到這個學科中來。

一、重視高等數學概念的鞏固

數學概念體現了數學的明確性和嚴密性。在高等數學中，諸如"函數"、"極限"、"積分"這樣一些概念的定義，都是為了正確地規定數學中所使用的術語的含義。人們就是充分運用了數學概念的作用，有效地從數和量的角度對事物進行分類，從而展開數學思維活動和形成數學思想與方法的。數學概念寥寥數語就包含了豐富復雜的思想內容，而將它與既有明確性又有嚴密性的其他概念結合起來，又進一步創造出新的概念，反復地這樣做，逐步創造出含義越來越豐富的數學概念、數學思想和數學方法。數學概念的一個基本特點是具有抽象的形式化。函數概念的形成過程就可以說明這一點。盡管"函數"的樸素觀念，幾乎是與數學本身同時出現的，表現在研究物體的大小以及位置關系時，自然就碰到了通常函數關系的那種數量關系。然而，作為數學研究對象的函數概念，直到17世紀末才由萊布尼茲引入。后來人類經過多次抽象化，函數概念才逐步形成今天的面貌。考察這個全過程，數學概念的抽象性的特點就變得一目了然了。最初人類把函數只是當作"冪"的同義語，到萊布尼茲才把"凡是與曲線的點有關的量"稱為函數。

鞏固概念是概念教學的重要環節。心理學原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固概念，首先應在引入、形成概念后，及時進行復述，以加深對概念的印象；其次應重視在發展中鞏固；第三是通過概念的應用來鞏固。概念的應用要注意遞進的過程，即由初步的、簡單的應用，逐步發展到較復雜的應用。要注意引導學生在判斷、推理、證明中運用概念，在日常生活、生產實踐中運用概念，以加深對概念的理解，達到鞏固概念的目的。反映在具體概念的教學中，應當引導學生思考分析以下幾個問題：（1）新概念是怎樣引進的，它的實際背景和現實模型是什么？（2）新概念的內涵是什么，外延有哪些，它和已學過的舊概念有何內在聯系？（3）怎樣判斷某一個對象是否合乎定義的要求，怎樣列舉不符合定義要求的反例？（4）利用新概念可以解決什么問題？（5）條件許可的話，還可以進一步分析新概念為什么采用這樣的定義，能否改變定義項？如在講到一元函數微分概念時，可做以下分析：在數學中給出（界定）一個概念（定義），接著就應該討論它的內涵和外延。在此，定義之后就應該考慮什么樣的函數是可微函數？可微函數具有什么特征（性質）？第一個問題若用定義去檢驗判別有點大海撈針的感覺，因為函數太多了，因此常從第二個問題人手，利用可微函數的定義討論這類函數所具有的性質，也就是可微函數的必要條件。接著自然會問：這條件是否又是充分條件呢？若是，就解決了什么樣的函數可微這個問題。若不是，通過完善條件導出可微定義中的條件，也就解決了第一個問題。

二、重視對數學思想、方法的訓練

對許多知識淡化了嚴密的推導過程，并不等于我們對于所有結論都簡單而直接地拿來。我們把節省的時間，除了用來訓練學生應用數學知識的能力，還用來對學生進行數學思想方法的訓練。例如，定積分的學習，單純從計算的角度出發，在學習了不定積分后，只需10分鐘講明"牛頓-萊布尼茲"公式即可。可這樣做，削弱了學生對定積分的理解，而且"微元法"這一基本的、有實用價值的思想方法將與學生失之交臂。因此，我們從學生熟悉的求平面圖形的面積入手，引導學生體驗領悟微元法，然后通過物理學、經濟學的實例，加深對微元法的理解。同時，應加強基礎學科交叉、注重素質教育。由于高等數學的主要內容是微積分，因此，要求學生對一元函數微積分學的知識要掌握牢固、扎實，能熟練運用其基本理論和公式計算有關題目。為此，我們應安排的課時較多一些，如在解方程中介紹行列式的知識；在極值的應用中結合管理學的知識等。在講授例題中注重學生能力的培養，鼓勵學生一題多解，培養學生的創新意識。對課程改革要制定明確的目標和詳細的措施，同時制定相關的規章制度以保證這些制度的有效執行，并對這些措施進行及時總結和改進。通過這些措施的實施，課程改革才能取得較為明顯的效果。

三、在課堂教學中加強數學思想方法教學的手段

1）編寫新的高等數學教案。這之中，對其體系結構、內容選取、練習內容、形式以及敘述的方式都要體現數學思想方法教學的要求，特別要重視編寫好緒論和每章開始的概述和末尾的結束語或小結。

2）根據每一教學內容的類型和特點去設計貫徹數學思想方法教學的途徑。教師要以啟發式教學思想為指導，嘗試采用發現法、探究法等多種教學法，充分運用變式教學，發揮教師的向導作用，創造性地運用技巧，拓展學生的思維空間。

3）指導學生做好各章節的小結，閱讀有關數學思想方法的參考書或舉辦專題報告會。教師要在充分研究和了解學生的基礎上，運用討論法、研究法等鼓勵學生相互探討、爭論、交流思維方法，相互啟迪，產生共鳴。

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1.以高等數學符號、概念為背景來設計試題。

此類題目的命制是在題設中直接引入了高等數學中的某些概念、結論、運算等，要求學生能內化題目給定的信息，抓住相應的關系和特征，結合原有的初等知識解決問題。

例1（2009福州）在空間直角坐標系中，對其中任何一向量 ，定義范數 ，它滿足以下性質： ，當且僅當 為零向量時，不等式取等號；（2）對任意的實數 ， （注：此處點乘號為普通的乘號）。（3） 。試求解以下問題：在平面直角坐標系中，有一個向量 ，下面給出的幾個表達式中，可能表示向量 的范數的是__（4）___.（把所有正確答案的序號都填上）

（1） （2） （3） （4）

【追根尋源】設V（F）是數域F上的線性空間，定義在F上的實值函數P：V（F）R如果滿足以下條件：

正定性：x0，當且僅當x=0時等號成立；

齊次性：kx=kx；k∈R；

三角不等式：x+yx+y；

則稱此實值函數P為V（F）上的范數，給定范數的線性空間（X，P）為賦范空間。[

【評析】本題以大學范數的概念為載體，考查演繹推理，抽象函數及其應用的。該函數具有一定的抽象性及函數圖象的不可作出性，因此該函數的性質在理解時也具有很強的抽象性，體現了高考對數學本質、數學概念和性質的形成過程的考查.考查了學生的閱讀理解能力、推理論證能力、抽象概括能力、數據處理能力。

【說明】高斯函數、小數函數、狄利克雷函數、分漸近線、凸凹性、整除性環域、群、封閉性等均可成為此類試題的源泉。

2.以高等數學的運算系統為背景來設計試題

此類題目的命制是以高等數學的抽象代數中的運算系統知識為背景設計一個陌生的數學情景，給出一定容量的新信息，通過閱讀相關信息，捕捉解題靈感而進行解答的一類新題型。

例2（2011廣東高考）設S是整數集Z的非空子集，如果 有 ，則稱S關于數的乘法是封閉的.若T，V是Z的兩個不相交的非空子集， 且 有 有 ，則下列結論恒成立的是（A）

A. 中至少有一個關于乘法是封閉的

B. 中至多有一個關于乘法是封閉的

C. 中有且只有一個關于乘法是封閉的

D. 中每一個關于乘法都是封閉的

【追根尋源】假定G是一個有代數運算“+”的非空集合，如果滿足下面條件，那么我們就說G對于代數運算“+”構成群：

（1）結合律成立：即對于任意 都有（ + ）+ = +（ + ）；

（2）在G中存在一個元素 ，叫做G的單位元，對于任意 ，都有 + = + = ；（3）對于任意 G，在G中存在一個元素 叫做 的逆序元，使得 + = + = ，這里 是一個固定的單位元。

【評析】此題以大學的群運算為載體，正確理解封閉的含義是解答的關鍵。試題具有一定的開放性，便于考查學生對新穎材料的學習理解能力、信息處理的解題能力。

【說明】整除性、環域、群、封閉性常為構成此類試題的源泉。

3.以高等數學的知識居高鄰下設計試題

此類試題運用高等數學的公式、定理、性質或其變式、引申，居高鄰下設計試題，再利用初等數學知識來解決問題。

例3.（2013江西高考）已知函數 ， 為常數且 。若 滿足 ，但 ，則稱 為函數 的二階周期點。如果 有兩個二階周期點 ，試確定 的取值范圍。

【追根尋源】不動點原理是高等數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動點定理。完整的表達：完備的距離空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點.用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f（x）=x。

【評析】高等數學中有些內容與中學數學比較靠近，有些概念、結論只要稍作敘述，就能以中學數學的形式出現。就如本題學生只要理解函數f（x）的不動點的定義：不動點是方程f（x）=x的實數根。本題只要將 的實根 求出，再扣除不動點。此題只是在原來常見的求不動點的題型的基礎上稍微進行了變化。

【說明】格朗日中值定理、閉區間上連續函數的介值性定理、根據同構觀點利用“關系映射反演原則”對數學問題進行等價變換和求解、利用射影變換、仿射變換方法構造幾何題都常為此類試題的源泉。

4.以中學數學概念、知識的延伸來設計試題。

高等數學所涉及的知識點要比初等數學所涉及的多（而且深），大學的許多內容是在中學知識的基礎上進行引伸、推廣的。所以可以中學數學概念、知識的延伸來設計試題，而此內容正是高等數學研究的范疇，此類題能較好地達到考查學生進一步學習數學的能力。

5.以高等數學的思想為背景設計試題

數學思想是數學知識在更高層次上的抽象和概括，高等數學中重要的數學思想有函數的思想、極限的思想、連續的思想、導數的思想、微分的思想、積分的思想、級數的思想等等。此類試題體現高等數學中常用的數學思想方法和推理方法。

例4（2010福建高考）對于具有相同定義域 的函數 和 ，若存在函數 （ 為常數），對任給的正數 ，存在相應的 ，使得當 且 時，總有 則稱直線 為曲線 與 的“分漸近線”。給出定義域均為D= 的四組函數如下：

① ， ；② ， ；

③ ， ；④ ， 。

其中，曲線 與 存在“分漸近線”的是（C）

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④

【解析】本題從大學數列極限定義的角度出發，仿造構造了分漸近線函數，目的是考查學生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質：存在分漸近線的充要條件是 時， 進行做答。

【說明】初等數學和高等數學的數學思想存在著直與曲、常與變、有限與無限、間斷與連續等統一的一面。所以試題的命制還可以以此為著眼點。

對于高觀點下的數學試題，絕不是要求教師提前教高等數學知識，解決這個問題的關鍵是如何進行轉換和過渡，這就要求教師高屋建瓴地處理數學教材，教學生如何進行知識的正遷移，建構出熟悉和諧的知識體系和問題背景。