序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇數學模型范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

篇(1)

馬航失聯至今為止都是一個未解開的謎團，而飛機失事也越發受到人們的關注。飛機失事后的救援工作更是重中之重，全世界都會關注救援的進度。如何準確快速的進行搜救也就成為了一個重要的問題。

本文將整個救援問題分為三個步驟：落點確定，搜索范圍確定，搜索路徑確定。通過對每一個步驟的確定，可以匯總出一個完整的搜救方案。首先，飛機墜落時，考慮到飛機種類不同，我們綜合了飛機重量，機翼面積，升阻比等參數，研究了飛機飛行高度與落點位置之間的關系，可以確定不同種類的飛機在不同高度墜落時落點的位置，對搜救工作進行第一步的定位。第二步，飛機墜毀解體后，會有不同種類的物體掉入海中，物體在海中受到洋流，風，海浪等等因素的影響做漂移運動。我們考慮了風和洋流對不同物體的作用不同，結合物體自身性質，研究了物體的漂移軌跡，通過風和洋流的實時信息，可以模擬推算出物體所在區域。不同種類的物體分布在不同的區域。根據第一步的落點和這一步的物體漂移范圍可以確定搜索的區域，不同的區域運用不同的搜救設備會使搜救效率提升，比如搜索沉沒海中的物體可以用攜帶探測水下設備的飛機進行搜救。第三步，對前面確定的區域進行搜索，因為區域內概率分布不均勻，所以根據區域內的概率制定搜救路徑，使搜救效率最高，增加救援成功率。通過這種方法，我們可以較為精準的確定搜救方案，方案的適用范圍較廣，模型靈敏度較高，模型可以自由調節精度。

失事飛機海上搜救問題需要抓住兩個重要因素：準確性和迅速性。準確性就是保證確定的搜救區域的準確性，因此需要考慮飛機落點的準確性和漂移軌跡的準確性。因此必須盡可能多的考慮影響因素，并搜集實時的準確數據以保證模型的準確性。迅速性就是搜索方案要保證最優，以最短的時間搜索盡可能大的范圍，搜救工作就是與時間賽跑，方案越迅速，搜救成功率越高。

飛機下降過程受到重力及斜向上的氣流阻力，氣流阻力與空氣密度有關，由機下墜落差很大，空氣密度變化很大，故而需要考慮空氣密度帶來的影響。將氣流阻力及重力分解在運動軌跡切線方向及其法線方向上，產生切線加速度及向心加速度，建立平面直角坐標系上的微分動力學方程，用MATLAB數值解法求解微分方程曲線，即為運動軌跡。

本文的研究可以對海上失事飛機的搜救工作起到一定參考作用。還有許多改進的地方，我們會繼續努力完善，希望可以對失事飛機的搜救工作做出更大的貢獻。

篇(2)

一、大學數學課程教學中的數學建模方法

數學建模一般可以描述為，對于現實世界中的特定對象，為了特定目的，根據特有的內在規律性，作出一些必要簡化假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構。數學建模在國民經濟和社會活動許多方面，如分析與設計、預報與決策、控制與優化、規劃與管理，都有大量應用。

數學建模是理論與實踐相聯系的橋梁，有利于培養大學生實踐能力和綜合素質。探索其它數學課程面向實踐的教學方法，進一步提高大學生實踐能力，對激發大學生的學習熱情，有著重要意義。

數學期望是概率論中的一個重要概念，應用較廣泛。在教學過程中引入實際問題，如風險型決策、保費計算、存取模型等，引導學生運用數學期望等數學知識研究解決，取得了較好的教學效果。

一些在日常生活中很常見的現象，也可以用數學模型的方法加以分析。人們帶一大筆現金出門，有些人可能會放在一個地方，有些人可能會分開放。就這個現象，我要求學生說說自己的觀點并分析。

僅僅從期望的角度出發，學生很容易得到，這些現金放一個最安全的地方最好。但有學生從感覺上認為分開放比較好，希望知道原因。

這個問題涉及效用理論。事實上，人的思維并不是完全數學性的，例如，獲得10000元與二分之一機會獲得25000元兩個選項，從期望角度，當然后一選項較好，但很多人會選擇前一選項。

帶1萬元現金出門，損失1萬元相比損失一半，不僅是數值上的2倍，更有現金全部損失的一系列嚴重后果。可以考慮用一個指標來說明這種考慮包含現金數損失并考慮其他因素的損失程度。

學生很快就這個問題建立了數學模型。

帶有1萬元現金，比較兩種方案：

方案1：放在一個最安全的地方。

方案2：平分兩半放兩個地方。

兩個地方現金損失概率分別為p1、p2，p1＜p2。

方案1的損失期望E1＝p1。

方案2的損失期望E2＝ （p1＋p2）。

僅從期望角度，方案1較好。

下面考慮損失效用，記損失1萬元及0.5萬元的損失程度分別為：

u1、u2，u1＞2u2

方案1的損失預期效用EU1＝p1u1。

方案2的損失預期效用EU2＝p1u2＋p2u2。

如果 ，則方案2較好；如果 ，則方案1

較好。

二、彩票模型

1．引入效用函數

記彩票各獎項的獎金為m1，m2，…，mn。

中獎概率為p1，p2，…，pn。

引入一個合適的效用函數u（x）。

則獎金的預期效用EU＝ u（mk）pk。

這個模型中效用函數的確定是關鍵。

研究認為，當獲利較小時，人們屬于風險喜好型；當獲利到達一定數額后，人們會轉變為風險厭惡型。并且從風險喜好到風險厭惡的轉折點與個人財富相關，財富越多轉折點越高。

由此可以定義一個S形的效用函數：

u（x）＝1－

其中參數σ可以依照收入水平確定，如某人年平均收入為5萬元，取30年總收入150萬元的效用為0.95，可以確定這個參數。

更細致的方法是將彩民分為冒險型、中立型和避險型，并調查三類人數占彩民總數的比例，采用加權平均的方法，得到一個體現彩票吸引力的綜合指標。

設冒險型、中立型和避險型彩民的效用函數為：

ui（x）＝1－ ，x≥0，i＝1，2，3。

三類彩民占彩民總數的比例為r1，r2，r3，定義彩票吸引力函數為：

f＝ ui（x）ri

通過比較這個指標，可以說明不同彩票的吸引力，也能說明人們購買彩票的動力。

但下面的例子很難用效用方法做出解釋。商家在顧客購買商品后提供兩個方案進行促銷活動：

方案1：優惠5%。

方案2：從10黑10白圍棋子中摸取10個，如果全是黑的或全是白的，則同樣商品再免費送一件。

調查發現還是有人選擇方案2，通過計算發現方案2的優惠率約為十萬分之一，也就是1000元的商品優惠1分錢。如果直接說1000元的商品優惠1分錢，恐怕沒有人會選擇，選擇方案2的原因在于概率誤判。當人們遇到較小概率時，在感覺上會誤認大些，而且越小的概率相對誤判程度越大。當然對接近1的概率，與1的差距也會同樣誤判。

分析這個例子后，學生給出了彩票問題相應的模型。

2．引入概率誤判函數

記彩票各獎項的獎金為m1，m2，…，mn。

中獎概率為p1，p2，…，pn。

引入一個合適的概率誤判函數w（x）。

則獎金的誤判期望EW＝ mkw（pk）。

心理學研究表明，人們傾向于高估低概率事件的出現，低估高概率事件的出現；高估有利事件的出現，低估不利事件的出現。概率誤判函數w（x）可以根據這個研究來確定。

假設彩民對概率0，0.5，1不會產生誤判，對接近0和1的概率會誤判，而且越接近0誤判程度越大，越接近1對概率與1的差誤判程度越大。

定義概率誤判函數：

當0＜x≤0.5時，誤判系數為 ，假設某彩民將0.001

的概率誤判為0.01，即誤判系數為10，可以通過誤判系數確定誤判函數中的參數：

＝10

篇(3)

北美電力可靠性公司（NorthAmericanElectricReliabilityCorporation）提出了一個關于建模、數據和分析的可靠性標準，其中關于發電機、勵磁系統及原動機模型參數驗證的標準為MOD26和MOD27［1］。該標準認為，為了使得電力系統安全運行及規劃研究的結果具有可信度，必須定期（每隔5a）進行常規的發電機、勵磁系統、原動機與調速器模型驗證和測試。該標準強化了機組參數定期測試的必要性和重要性。當前有關于發電機系統參數的辨識方法，大多是在發電機離線的情況下，通過實驗的方法，給發電機系統加入外部激勵信號，記錄發電機系統在此輸入信號作用下的輸出曲線，進而辨識出系統的參數［2-5］。文獻［6-8］實現了基于現場階躍實驗的勵磁系統參數辨識。文獻［9-12］通過快速傅里葉變換（FFT）將時域信號轉換到頻域，再利用最小二乘法（LSM）原理辨識出勵磁系統的模型參數。上述文獻對于非線性環節的估計基本上均是基于經驗公式進行。為了實現對非線性環節更準確的估計及辨識，文獻［13-21］提出了基于遺傳算法及蟻群算法的參數辨識。上述方法均是通過人為添加外部擾動信號并記錄各個模塊及系統的輸出，然后通過曲線擬合的方式辨識出相應模塊及系統的參數。該種方法的優點較明顯，即可以對任意環節進行相應的測試，但也存在相應的缺點：a.比較繁瑣，且由于要人為地在系統的特定環節引入外加信號，可能會給機組帶來一定的潛在傷害；b.該實驗只能在機組離線的方式下進行，因此會影響機組的正常運行；c.機組某些參數在帶載和離線運行時并不完全一樣，通過實驗方式獲得的機組離線參數，相對于機組在線運行而言，只能是近似的，而更準確的參數應該是在機組在線運行狀態下測試所獲得的參數。近年來，由于相量測量單元PMU（PhasorMea-surementUnit）技術的發展，電氣量的在線測量和記錄技術已經比較成熟。文獻［22］提出了基于PMU的功角測量的在線頻率響應辨識方法，但當待辨識參數為同步電機的基本參數時，q軸參數的個數多于方程的個數，故存在解不能唯一確定的問題。文獻［23］提出了基于PMU的勵磁系統參數辨識，該方法通過PMU所記錄的機端電壓、電流及勵磁電壓、電流等電氣量，建立發電機與勵磁系統的解耦方程組，利用PMU所記錄的電氣量時間序列數據，對該模型進行辨識而得到勵磁系統參數。該方法相對于通過實驗來實現機組參數辨識的方法簡單了許多。由于PMU系統比較昂貴，且并非所有機組所在母線均裝設相應單元，只是在關鍵機組及變電站處裝設，所以若只單純地依靠它的量測數據，很難實現所有機組參數的在線測試。而每臺機組均裝設故障錄波器DFR（DigitalFaultRecorder），當它感覺到系統發生故障時，就自動把故障發生前后一段時間該臺機組的所有電氣量以毫秒級頻率記錄下來。因此，本文提出基于DFR的機組參數在線參數辨識方法，以實現所有機組參數的測試。

1基于DFR的機組參數辨識過程

1.1DFR簡介DFR在電力系統或機組發生故障或振蕩時自動記錄裝置安裝處的各種信息。安裝在網絡節點中的DFR，記錄包括節點電壓、電流、有功功率、無功功率及系統頻率在系統波動期間的變化全過程；而安裝在發電機節點處的DFR，記錄包括機端電壓、機端電流、有功功率、無功功率、機組轉速、勵磁電壓和勵磁電流等相關數據在系統波動及機組故障期間的變化全過程。所記錄的數據主要用于故障后對事故原因的分析。錄波器主要包括采集模塊和管理分析模塊。采集模塊主要完成錄波數據的采集、分析計算、錄波啟動判別等；管理分析模塊主要完成數據的記錄、分析和管理，故障類型分析，故障定位和故障再現等功能［24-25］。裝置的原理框圖如圖1所示。圖1中的核心控制器通過對故障前后各種電氣量的變化情況進行分析和比較，判斷系統是否發生故障，從而決定是否啟動數據的記錄過程。故障錄波器的采樣頻率一般在1~10kHz之間，并且采用分段記錄方式：記錄擾動前的狀態數據不少于0.04s；擾動初期數據記錄不少于0.1s；擾動中期數據記錄不少于1.1s。

1.2基于DFR的參數辨識流程發電機系統包括發電機、勵磁系統、原動機及調速器，各模塊之間的調節和控制關系可以用圖2表示。當DFR把系統擾動（或故障）期間機組的所有相關參數記錄之后，依據圖2所示的各個模塊之間的關系，以各個模塊待辨識參數為控制變量，分別建立各個模塊的數學模型，采用優化和數據匹配的方式，得到各個模塊待辨識參數。其過程如圖3所示。

2用于機組參數辨識的子系統建模方法

2.1發電機模塊相關變量符號說明如下：ra為定子繞組電阻；xd、對于發電機而言，待辨識的參數包括ra、xd、xq、x′d、x′q、xd″、xq″、τd′0、τq′0、τd″0、τq″0。描述發電機動態過程的微分代數方程組是7階Park方程組；輸入數據是機組轉速ω、勵磁電壓Efd、機端d軸電流id、機端q軸電流iq；輸出數據是機端電壓ut。它們的關系如圖4所示。故障錄波器實際測量到的是a、b、c三相機端電流it及電壓ut，并不是機端d軸、機端q軸電流（id、iq）；所以，首先要對測量到的機端電流進行如下的abc-dq坐標變換（機端電壓的變換與之類似），即：

2.2勵磁系統模塊對于實際的勵磁系統，其型式及結構眾多。本文以BPA軟件所能處理的11種模型（包括FA、FB、FC、FD、FE、FF、FG、FH、FJ、FK、FL）作為辨識對象。下面以FA型勵磁系統的建模為例說明建模過程。FA型勵磁系統傳遞函數框圖如圖5所示。根據圖5所示的傳遞函數框圖，在Us信號能夠量測或算得之后，分別寫出每一個環節的微分方程，再離散化為代數方程，最后將各個環節的代數方程聯立，就獲得了勵磁系統的數學模型。

2.3原動機與調速器模塊本文以IEEE1981版GS型調速器模型和TA型原動機模型的建模為例說明其建模過程。傳遞函數框圖分別如圖6、圖7所示。以下的推導基于P0信號可以量測得到。

3基于優化技術的機組參數辨識

3.1參數辨識策略若把分別用式（8）、式（17）及式（33）表示的發電機模塊、勵磁系統模塊及調速器模塊等的輸入／輸出關系中的待辨識參數用向量x表示，輸入變量用向量u表示，輸出變量用向量z表示，輸入和輸出之間的關系用函數f（•）表示，則其關系可記為：

3.2PSO算法簡介［26］PSO算法的思想是將每個個體看作是在D維搜索空間中的一個沒有重量和體積的粒子，每個粒子代表搜索空間的一個候選解，所有的粒子都有一個由優化問題決定的適應值，及粒子飛行方向和距離。在給定誤差閾值，迭代次數上限，慣性權重w，學習因子c1、c2，以及相互獨立的隨機數r1、r2等相關參數之后，通過迭代不斷地更新粒子的位置和速度，使得目標函數達到給定的誤差閾值或者迭代次數到達給定迭代次數上限，而得到最優解。

4應用實例

本文應用上述辨識方法，利用天津大港電廠某一臺發電機的DFR數據進行了相應的機組參數辨識計算，以驗證算法的正確性。大港電廠的DFR所記錄的數據包括：三相定子電壓和電流；三相有功和無功功率；頻率；勵磁電流和勵磁電壓。2006年7月，大港電廠1號機組勵磁系統發生TV一次側斷線，最終導致機組解列。DFR記錄此次事故的整個過程，該記錄中的數據經過標幺轉換之后波形如圖9—11所示，圖中，縱坐標均為標幺值，分別為機端電壓ut、有功功率P、勵磁電壓uf。大港電廠1號機組的發電機采用7階模型；其在本文算例的辨識過程中，為了使得辨識結果具有推廣性，用于辨識的輸入輸出數據對均保持3倍的冗余度，即為待辨識參數的3倍。辨識優化過程的各參數初值為制造產家提供的數值。試驗機器配置如下：CPU，1200MHz；RAM，376MB。分別將經辨識得到的參數、廠家提供的初始參數，代入相應的勵磁系統及發電機模型，分別得到經辨識之后的機組機端電壓輸出和廠家參數未辨識輸出，并與相應的實測數據畫在同一圖中進行對比。發電機系統參數的辨識對比結果如圖12所示，輸入數據是機組轉速ω、勵磁電壓Efd、機端d軸電流id、機端q軸電流iq；輸出數據是機端電壓ut。勵磁系統的辨識對比結果如圖13所示，輸入是機端d軸電流id、機端q軸電流iq；輸出數據是勵磁電壓Efd。將發電機模塊與勵磁系統模塊綜合起來視為一個整體（此處稱之為整體系統），即以勵磁系統的輸入為輸入，以機端電壓為輸出，并分別利用廠家給的參數所做出的輸出（即未辨識輸出）和實測曲線進行對比，其對比曲線如圖14所示。從圖12—14可以看出，采用經過辨識后的參數，其仿真輸出的結果明顯更加接近實測曲線；從而表明需要指出的是，因大港電廠無法提供原動機及調速器傳遞函數中相關參數的出廠或試驗參數，故本文無法進行相應的辨識。因其辨識過程與勵磁系統及發電機模塊的相關參數完全一樣，因此，只要有相應參數的初始值，預期采用DFR錄波一樣可以完成其辨識，并能取得與勵磁系統及發電機系統類似的辨識效果。

篇(4)

【關鍵詞】活動課有效生活性實用性

一、確立“數學模型”的現實意義

數學教學就是在一定基礎上進行對數學知識模型的建立及其方法的應用。數學模型化是一種極為重要的數學思想方法。對于學生學習和處理數學問題有著極其重要的影響，它可以幫助學生體會數學的作用，產生對數學學習的興趣。因此，建構和掌握數學模型化方法，是培養學生創新精神、實踐能力的一種最有效的途徑。

數學模型是建立在數學一般的基礎知識與應用數學知識之間的一座重要的橋梁，建立數學模型，就是指從數學的角度發現問題、展開思考，通過新舊知識間的轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，再綜合運用已有的數學知識與技能解決這一類問題。這是在平時的數學教學中教師應該著重培養學生所具備的一種數學思想和方法。就是將數學理論知識應用于實際問題的思想和方法。學生在探索、獲得數學模型的過程中，也同時獲得了建構數學模型、解決實際問題的思想與方法，而這對學生的發展來說，其意義遠大于僅僅獲得某些數學知

建構數學模型不僅包括學生在數學實踐體驗中的思想情感、態度與價值觀，更重要的是轉化思想、集合思想、數形結合思想、函數思想、符號化思想、對應思想、分類思想、歸納思想、模型思想、統計思想等。數學最主要的思想是歸納思想和演繹思想，要重點培養學生的探究成因、預測未來、舉一反三、觸類旁通的能力和思想。

二、巧方法找途徑建模型

小學數學中的法則、定律、公式等都是一個個數學模型，如何使學生通過建模形成數學模型？其中一條很重要的途徑就是把生活原型上升為數學模型。因為生活原型中揭示的“事理”是學生的“常識”，但是“常識”還不是數學，“常識要成為數學，它必須經過提煉和組織，而凝成一定的法則……”，所以要使“事理”上升為“數理”還需要有一個模型化的過程。

（一）、創設情境，誘發問題。

教師有目的、有意識地創設能激發學生創造意識的各種情境，促使學生產生質疑問題、探索求解的學習動機。

1.問題情境設置的途徑。促使學生原有的知識與必須掌握的新知識發生激烈沖突，使學生意識中的矛盾激化，從而產生問題情境。

2.問題呈現形式多樣化。可由教師提出問題，也可教師引導學生提出問題，但必須讓學生明確問題解決的目標，激發問題解決的動機，充分發揮教師的引導作用。

3.問題的提出要針對學生實際。問題的引入力求趣味、新奇、有針對性，能夠誘導、啟發、激活學生頭腦中潛在的知識，使之服務于問題的解決，最大限度地調動學生的求知欲。

（二）、成功導學，構建模型。

學生在老師的鼓勵和指導下自主探究解決實際問題的途徑，進行自主探索學習，把實際問題轉化為數學問題，即將實際問題數學化。建模過程是學生的分析、抽象、綜合、表達能力的體現。

1.教師導學是構建模型的前提。從導思、導議、導練入手，結合學生心理特征和認知水平，提出的啟發性問題，不宜過于簡單又不能超過學生的實際水平。

2.老師要善于聚焦集思、由此及彼、由表及里，把分散的、現象的、感性的問題上升到理性并納入到所要達到的教學目標的軌道上來，從而形成集體求索的態勢。

3.提出一個或幾個問題之后，要給學生思考的時間，如何“跳”才能“摘到果子”。這樣，他們解決問題的能力會更強些。

（三）、逐層探究，求解結果。

教師在點撥導、引導學生將實際問題數學化的基礎上，進一步組織深層探究，求解數學問題。要讓學生敘述解決數學問題的過程，交流解決問題的經驗，從而達到解決問題、形成解決問題策略的目的。

1.學生交流討論的過程是學生之間、師生之間的多邊互動的過程，應最大限度地調動學生的積極性，提高學生的參與程度。充分發表各自的意見，實施開放性思維。通過相互交流合作，綜合比較，達到既求解問題又培養能力的目的。

2.教師要指導問題求解的策略，要組織好交流活動，使學生盡情地交流求解問題的經驗，相互補充，完善表述，形成策略。同時要把握好“收”與“放”的關系，放開以各抒己見，收攏以達到相對統一的認識，使學生的認識系列化、規范化。

（四）、聯系實際，檢驗結果。

求得數學模型的解，并非問題得到解決，要結合實際，將求得的數學結果放到實際情境中去檢驗，看其是否實際結果。

通過深層探究，求得數學結果已是教師與學生的共識，但結合實際、檢驗結果，是教學時常忽視的地方，其原因之一，是教材中大量提供是已經過加工、合理的素材，缺乏檢驗的必要性。因此關鍵再于教師的引導和重視。

（五）、問題解決，評價反思。

教師對教學活動的效果進行評價，既要評價知識的掌握、技能的習得，及時引導學生歸納、總結，理出知識網絡，形成知識結構，達成對知識內化的轉化；更要評價解決問題的方法，重在引導學生反思解決問題的過程，歸納解決問題的方法和策略。

三、小學數學課堂中實施“數學模型”的具體方法

（一）創設情境，激發建模興趣。

數學模型都具有現實的生活背景，這是構建模型的基礎和解決實際問題的需要。如構建“統一長度單位”模型時，可以創設這樣的情境：讓學生用身邊熟悉的鉛筆、文具盒、小刀、橡皮等長短不一的物體量數學書的長度，結果學生量出的數據各種各樣，誰也不知道數學書的具體長度，這時需要尋求一種新的策略，于是構建“統一長度單位”的模型成為學生的需求，同時也揭示了模型存在的背景與適用的條件。

篇(5)

關鍵詞：模型思想；數學模型；數學思想

新課程改革中著重說明，“數與代數”中模型是一項非常重要的內容，其與函數、方程組、方程、不等式等都同屬于基本的數學模型；基礎教育的目的就是要讓學生通過親身體驗將實際問題抽象為數學模型，以便解決和應用數學模型這一數學理念，有利于學生充分了解數學，讓價值觀、情感態度與思維能力等不同方面得到相應的發展與進步。這就要求把學生學習數學知識的過程看作是建立數學模型的機會，在建立數學模型的過程中培養學生的數學能力，讓學生能夠自覺運用數學方法解決、分析生活中的問題。本文主要探討什么是數學模型，如何培養小學數學模型思想。

一、數學模型思想

數學模型指的是對照某一種事物的數量或特點之間的相互關系，通過運用形式化的數字語言進行概括的數學結構。就某種意義而言，數學中的數量關系、性質、法則、概念、方程、公式等都能稱為數學模型。如數學中的三角形，是自然界中最穩固的形狀，我們可以在自行車上看到三角形的應用，自行車的橫梁與兩個車輪之間構成一個牢固的三角形，這些都能反映事物都是一個擁有共性的數學模型，能夠描繪現實世界的數量關系。數學模型具有精確化、典型化與一般化的特點。

模型思想即對于需要解決的問題，創建相對應的數學模型，通過研究數學模型從而解決現實中的實際問題的一種數學思想方式。“模型化”數學思想是重大數學思想方法當中最受關注的一種，所以在小學數學課堂教學中建立模型思想成為了刻不容緩的教學任務。

二、培養小學數學模型思想的相關策略

新課程改革明確要求教師在教學過程中指導學生建立數學模型，不僅僅要注重建模的結果，還要重視學生自行建立數學模型的方法，使得學生能夠在自己的探索與實踐中有效、合理、科學地建立起數學模型。

1.感知建模法

所有的活動都是由感性認識上升為理性認識的過程，況且小學階段正處于學生感性認識的發展時期。模型構建的過程實質上就是一個不斷積累、感知的過程。一些感性的材料能夠幫助學生建立數學模型。因此，教師要為學生提供多樣的感性材料，讓學生能夠全方位、多角度來感知事物的數量與特征的關系，為準確構建數學模型奠定基礎。

例1：湊十法。在學習初步算法的時候，可以運用“湊十法”，先學習“9+（ ）=10”的算法，然后使用半扶半放的方法學習“8+（ ）=10、7+（ ）=10”的算法，進而指導學生感知“湊十法”適用的范圍不僅僅局限于這些。隨后，分別學習“6+（ ）=10、5+（ ）=10、4+（ ）=10”等一系列的算法。在這個過程當中，學生體會了操作、觀察、實踐等活動，了解了“湊十法”的意義，從而為構造“湊十法”數學模型打下良好的基礎。

2.總結建模法

無論是建立數學概念、解決數學問題，還是發現數學規律，其關鍵都在于靈活運用數學思想方法，因為數學模型的基礎就是要靈活運用數學模型思想。解決生動具體的問題或情境，僅僅能夠使得學生可以學習數學模型的構建，但若要想提高理性高度，則需要重視總結數學思想方法，這樣才能更好地培養數學模型思想。

例2：計算梯形圖形。在講授梯形圖形面積的時候，教師不能直接將歸納好的知識點告訴學生，而是要讓學生使用準備好的紙板進行拼湊、折疊、剪補等操作，讓學生自己去尋找梯形面積要如何計算。在此過程中，學生會將梯形的面積轉變為學習過的三角形或者長方形的面積進行計算。此時，教師將學生各種計算方法進行整理歸納，從而就能推導出計算梯形的面積公式，在構建面積公式模型的過程中要突出數學模型思想，即極限思想與將未知轉變為已有知識這兩種數學模型思想。教師要指導學生創造性地運用已有知識解決新知識，使得學生在研究中，體會到構建數學模型是一個有趣的過程，讓其學會主動總結構建數學模型。

3.興趣建模法

在教學過程中，教師可提出有助于學生思維發展的問題，從“問題”開始著手，讓學生思考“問題”，學習“問題”，用這種方法激發學生構建數學模型的興趣。

例3：計算圓的周長。根據學生現有的知識水平，了解學生的知識范圍和知識掌握的程度，提出問題：“如果現在讓你設計一個試驗，來檢驗圓的直徑與周長之間的倍數關系，你會設計什么試驗呢？”這時，學生會拿出準備好的繩子和圓形卡紙分小組進行探討，即可得出圓的周長與直徑存在數量關系，前者是后者的3倍多。教師的提問引導學生往正確的方向思考，激發了學生刨根問底的興趣，學生與學生之間進行了熱烈的交流與積極的思考。

參考文獻：

[1]劉勛達.小學數學模型思想及培養策略研究[D].武漢：華中師范大學，2013.

[2]周燕.小學數學教學中數學模型思想的融入[D].上海：上海師范大學，2013.

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篇(6)

關鍵詞： 數學模型；極限；連續

中圖分類號：G642文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2012）07-0203-01

1數學分析課程的現狀

數學分析是數學系最重要的一門基礎課，也是學習今后數學系大部分課程的臺階，是初學時比較難的一門課，這里的難主要是對數學分析思想和方法的不適應。過去由于學生數學基礎較好，隨著課程的深入會逐漸容易起來，最終能夠掌握這門關鍵的基礎課程，也為后續課程的學習鋪平了道路。現在由于高校的擴招，學生的素質呈下降趨勢，如果還依照的傳統的教學模式，先講解定義、再講定理證明，最后進行公式推導和總結大量的計算方法與技巧，而忽視利用數學分析的思想和方法來解決實際問題。正如李大潛院士指出的那樣：“過于追求體系的天衣無縫，過于追求理論的完美和邏輯的嚴謹，忘記了數學從何處來、又向何處去這個大問題，把數學構建成一個自我封閉、因而死氣沉沉的王國。

我系曾對學生做過關于數學分析學習的問卷調查，回答“對數學分析有何印象或感覺”時，57．2％的認為數學分析難，且比較枯燥。在問及是否對提高思維能力有幫助，只有有不到一半的人認為有，但不是很明顯，大部分的認為學習數學分析對解決實際問題意義不大。超過半數的學生坦言“討厭數學”“數學太難”“最怕函數”。長此以往，使得學生越來越覺得數學枯燥無味，雖然學了一定的數學知識，但體會不到學習數學的快樂，最終失去了學習數學的興趣，這對學習后續課程非常不利，影響學生的發展，也使得數學這個自然科學的王冠在學生中失去了原有的魅力。

2如何在數學分析教學中引入數學模型

數學建模是一門實踐性很強的學科課，與其它的數學系主干課程有很大區別，涉及到廣泛的應用領域，如物理學，力學，工程學，生物，醫學，經濟學等，把對學生利用數學方法解決實際問題能力的培養作為主要任務，需要學生能夠靈活運用各種數學知識，它從解決生活中實際問題開始，先把問題和數學中的相關知識聯系起來，再通過數學方法解決這個問題，最后在應用到實際問題中去。

在數學分析教學中，引入數學模型不僅有利于培養學生學習數學的興趣，同時也有助于學生從另一方面來理解數學的定理和定義。例如在函數的連續性這一章中，零值定理是一個很重要的結論，在教材中主要用來判別方程根的存在性，而在實際生活中有的作用學生并不清楚，在這里可以引入一個數學模型：椅子能在不平的地面上放穩嗎,通過利用零值定理，滿足以下條件：①四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形。②地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面。③地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。就可以的到肯定的結論。這比單純的理論教學更容易引起學生的興趣，同時也能擴散學生的思維，使他們初步具有了利用數學方法來解決實際問題的思想，最后也能更進一步加深對連續定義的理解。

又如，在開始講授極限理論時，對于數列極限的計算花費了很長時間，但是求數列極限究竟有什么意義和價值呢，如果僅僅指出他在后續課程的作用來給學生說意義不大，這只有在學生學完后才能感覺到。這里可以考慮通過實際問題來說明：

我們知道學習新東西后需要復習來鞏固，復習次數越多，掌握的越多，但是永遠也不肯能完全掌握。下面我們利用數列和數列極限的定理來論證。

假設學生在每學習電腦一次，能掌握一定的新內容，其掌握程度為A，記b0為開始學習電腦時所掌握的程度，易知，0?燮b0

3數學建模思想有利于培養學生學習的綜合能力

通過以上兩個例子，我們發現在數學分析教學中引入數學模型，把學生從理論學習的枯燥和繁瑣中解脫出來，使學生認識到數學在實際中的作用，這不僅能激發學生學習的興趣，擴散學生的思維，拓寬學生的知識面，使學生初步領悟數學建模思想，更為重要的是在引導學生應用數學知識來對實際問題進行分析和求解過程中，通過對問題進行分析，能培養學生自主探索知識的興趣和獨立求解問題的能力和方法，通過對各種問題的分析，研究，比較，達到觸類旁通的效果，發展學生的聯想能力，同時能激發學生自主學習的積極型和主動性，而不是死記結論，死套公式和法則的被動性學習，從而對數學分析的教學起到很好的促進作用，也有利于在學習中的培養學生的創新能力。

參考文獻：

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初中生在學習數學時，思維的發散能力往往欠缺，對于知識的遷移能力也弱，更談不上舉一反三了.因此教學中常常發現學生重復犯錯，老師強調的內容還是不會做或者做錯.其實，出現這些情況，緣于在平時的教學中，師生沒有及時地總結數學模型.將數學知識轉化成數學模型是完成知識遷移的關鍵環節.

《課程標準》對數學建模提出了明確的要求：強調“從學生已有的經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解析與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度和價值觀方面得到進步和發展”. 根據這一要求，教師要有目標、有層次、有變化地設計教學，適時引導學生將問題模型化，求解，證實，再解決，進而提高數學意識和數學應用能力.并潛移默化地促進學生的學習興趣、創新精神.

二、教學片斷

秉承“問題情境―建立模型―解釋、應用與拓展”的教學模式開展教學活動，并在引導學生學會數學建模，在應用新知識解決實際問題的過程中，培養學生的語言表達、綜合思維和分析、解決問題的多種能力，取得了較好的成效.

片斷1：變一題，通一片

1.如圖1，在ABC中，AD平分∠BAC，CF∥AB，交AD延長線于F點，則是等腰三角形.

變式一如圖2，在ABC中，AD平分∠BAC，BF∥AD，交CA延長線于F點，則是等腰三角形.

兩個小題解決后，教師不失時機地追問：請同學們想一想，剛才我們做的兩道題有沒有什么共同特點？學生甲：好像都有角平分線和平行線.教師：觀察很仔細.學生乙：都能找到等腰三角形.教師點撥：那么這里出現一個什么巧妙的圖形組合呢？

片斷2：變一變，滲透通性通法

2.如圖3，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，…，PnAn-1An都是等腰直角三角形，點P1，P2，P3，…，Pn在函數y=4x （x>0）的圖象上，斜邊OA1，A1A2，A2A3，…，An-1An都在x軸上，則點A1的坐標是，點A2的坐標是，點A2006的坐標是.

此題的模型構建，需要遵循“特殊”――“一般”的化歸思想.求A1，A2就是特殊點，利用形表示出P2點的坐標（4+m，m），再將該點代人解析式可得關于m的方程.余下的點用同樣方法求得，最后找規律求得P2006的坐標.解決這個問題用到了很多的數學思想方法：數形結合，方程，化歸等.教師重點是幫助他們構建數形結合的數學模型，即“利用形表示點坐標”――“利用數求得點坐標”.并能夠深切體會它的妙用.教師緊跟兩個變式.

變式一若正P1OA1與正P2A1A2，頂點P1，P2在圖象上，求A2點的坐標.

變式二若正方形ABCO和正方形DEFA的頂點B，E在圖象上.求E點的坐標.

兩個變式把幾何背景變成了等邊三角形和正方形.變式旨在讓學生掌握數形結合的本質方法.會把初步概括的模型，深入應用.經過一段時間的思考，學生自然體會到“數形結合”模型的妙處，果然可以活學活用.不難發現，這樣的方法在這里仍然適用，而且恰到好處.經過兩個變式的鞏固，學生進一步掌握了“利用形表示點坐標”――“利用數求得點坐標”的模型.

三、結語